Mong các chuyên gia toán giúp đỡ ạ . Hạn đến hết sáng thứ 3 Cho a,b,c > 0 ; a+b+c=3 . Tìm GTNN của biểu thức : P= $\frac{1}{a}$ +$\frac{1}{b}$ +$\fr

0 bình luận về “Mong các chuyên gia toán giúp đỡ ạ . Hạn đến hết sáng thứ 3 Cho a,b,c > 0 ; a+b+c=3 . Tìm GTNN của biểu thức : P= $\frac{1}{a}$ +$\frac{1}{b}$ +$\fr”

1. Áp dụng BĐT Cauchy – Schwarz dạng Engel ta có

   ` P = 1/a +1/b + 1/c \ge ( (1+1+1)^2)/(a+b+c) = 9/(a+b+c) = 9/3 = 3`

   Vậy GTNN của `P = 3` , dấu `=` xảy ra khi 

   $\begin{cases} a = b = c  \\\\ a + b + c = 3 \end{cases} ⇔ a = b = c= 1$

   Trả lời

2. Đáp án+Giải thích các bước giải:

    `P=1/a+1/b+1/c`

   `\to 3P=3(1/a+1/b+1/c)`

   `=(a+b+c)(1/a+1/b+1/c)`

   `=1+a/b+a/c+b/a+1+b/c+c/a+c/b+1`

   `=(1+1+1)+(a/b+b/a)+(a/c+c/a)+(b/c+c/b)`

   `=3+(a/b+b/a)+(a/c+c/a)+(b/c+c/b)`

   Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho `a;b;c>0` ta có:

   `a/b+b/a≥2\sqrt{a/b.(b)/a}=2`

   `a/c+c/a≥2\sqrt{a/c.(c)/a}=2`

   `b/c+c/b≥2\sqrt{b/c.(c)/b}=2`

   `\to (a/b+b/a)+(a/c+c/a)+(b/c+c/b)≥6`

   `\to 3+(a/b+b/a)+(a/c+c/a)+(b/c+c/b)≥9`

   `\to 3P≥9`

   `\to P≥3`

   Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi:

   `a=b=c`

   Vậy $P_{min}=3$ khi `a=b=c`

   Trả lời