Cho hai số thực a, b thỏa mãn: $\left(a+\sqrt{a^{2}+9}\right)\left(b+\sqrt{b^{2}+9}\right)=9$
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $\mathrm{M}=2 \mathrm{a}^{4}-\mathrm{b}^{4}+6 \mathrm{ab}+8 \mathrm{a}^{2}-10 \mathrm{a}-2 \mathrm{~b}+2026$.
Cho hai số thực a, b thỏa mãn: $\left(a+\sqrt{a^{2}+9}\right)\left(b+\sqrt{b^{2}+9}\right)=9$ Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $\mathrm{M}=2 \mathr
By Josie
Đáp án:
`minM=2021` khi và chỉ khi `a=1,b=-1.`
Giải thích các bước giải:
Từ giả thiết, `(a+\sqrt{a^2+9})(b+\sqrt{b^2+9})=9`
`=>` $\left\{\begin{matrix}a+\sqrt{a^2+9}\ne0\\b+\sqrt{b^2+9}\ne0 \end{matrix}\right.$
Ta sẽ chứng minh `a-\sqrt{a^ 2+9}\ne0;b-\sqrt{b^2+9}\ne0.`
Giả sử `a-\sqrt{a^2+9}=0`
`<=>{(a-\sqrt{a^2+9})(a+\sqrt{a^2+9})}/{a+\sqrt{a^2+9}}=0`
`<=>{a^2-a^2-9}/{a+\sqrt{a^2+9}}=0`
`<=>{-9}/{a+\sqrt{a^2+9}}=0`
`=>-9=0` (điều này vô lí). Từ đó suy ra `a-\sqrt{a^ 2+9}\ne0`. Hoàn toàn tương tự cũng suy ra `b-\sqrt{b^ 2+9}\ne0.`
Trở lại bài toán, vì đã có `a-\sqrt{a^ 2+9}\ne0` và `\sqrt{b^ 2+9}\ne0` nên ta thực hiện biến đổi như sau:
`(a+\sqrt{a^2+9})(b+\sqrt{b^2+9})=9`
`<=>(a+\sqrt{a^2+9})(a-\sqrt{a^2+9})(b+\sqrt{b^2+9})=9(a-\sqrt{a^2+9})`
`<=>(a^2-a^2-9)(b+\sqrt{b^2+9})=9(a-\sqrt{a^2+9})`
`<=>-9(b+\sqrt{b^2+9})=9(a-\sqrt{a^2+9})`
`<=>b+\sqrt{b^2+9}=\sqrt{a^2+9}-a` `(1)`
Chứng minh tương tự, ta cũng có: `a+\sqrt{a^2+9}=\sqrt{b^2+9}-b` `(2)`
Từ `(1)` và `(2)`, suy ra:
`b+\sqrt{b^2+9}+a+\sqrt{a^2+9}=\sqrt{a^2+9}-a+\sqrt{b^2+9}-b`
`<=>(a+b)+(\sqrt{a^2+9}+\sqrt{b^2+9})=(\sqrt{a^2+9}+\sqrt{b^2+9})-(a+b)`
`<=>a+b=-(a+b)`
`<=>a+b+a+b=0`
`<=>2(a+b)=0`
`<=>a+b=0`
`<=>a=-b.`
Thay `a=-b` vào `M` ta được:
`M=2b^4-b^4-6b^2+8b^2+10b-2b+2026`
`M=b^4+2b^2+8b+2026`
`M=(b^4+1)+2b^2+8b+2025`
Áp dụng bất đẳng thức `Cô-si` cho hai số không âm `b^4` và `1` ta được:
`b^4+1≥2.\sqrt{b^4. 1}=2b^2`. Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi `b^4=1<=>b=±1.` `(3)`
`=>M≥2b^2+2b^2+8b+2025=4b^2+8b+4+2021=4(b^2+2b+1)+2021=4(b+1)^2+2021`
Lại có: `(b+1)^2≥0.` Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi `b+1=0<=>b=-1.` `(4)`
`=>M≥2021.`
Kết hợp cả `(3)` và `(4)` ta suy ra, dấu “=” xảy ra khi `b=-1=>a=1.`
Vậy `minM=2021` khi và chỉ khi `a=1,b=-1.`
Đáp án:
2021
Giải thích các bước giải:
Nhận xét: $\left\{\begin{matrix} a-\sqrt{a^2+9}\ne0\\b-\sqrt{b^2+9}\ne0 \end{matrix}\right.$
`9=((a+\sqrt{a^2+9})(a-\sqrt{a^2+9})(b+\sqrt{b^2+9})(b-\sqrt{b^2+9}))/((a-\sqrt{a^2+9})(b-\sqrt{b^2+9}))`
`=((a^2-a^2-9)(b^2-b^2-9))/((a-\sqrt{a^2+9})(b-\sqrt{b^2+9}))`
`=81/((a-\sqrt{a^2+9})(b-\sqrt{b^2+9}))`
`->(a-\sqrt{a^2+9})(b-\sqrt{b^2+9})=9=(a+\sqrt{a^2+9})(b+\sqrt{b^2+9})`
`->ab-a\sqrt{b^2+9}-b\sqrt{a^2+9}+\sqrt{(a^2+9)(b^2+9)}=ab+a\sqrt{b^2+9}+b\sqrt{a^2+9}+\sqrt{(a^2+9)(b^2+9)}`
`->a\sqrt{b^2+9}=b\sqrt{a^2+9}`
`->a^2(b^2+9)=b^2(a^2+9) (ab<0)`
`->9a^2=9b^2`
`->a^2=b^2`
`->-a=b`
`->M=2a^4-b^4+6ab+8a^2-10a-2b+2026`
`=2a^4-a^4-6a^2+8a^2-10a+2a+2026`
`=a^4+2a^2-8a+2026`
`=a^4-2a^2+1+4a^2-8a+4+2021`
`=(a^2-1)^2+4(a-1)^2+2021>=2021`
Dấu bằng xảy ra khi $\left\{\begin{matrix} (a+\sqrt{a^2+9})(b+\sqrt{b^2+9})=9\\(a-\sqrt{a^2+9})(b-\sqrt{b^2+9})=9\\a=-b\\a^2-1=0\\a-1=0 \end{matrix}\right.\to(a;b)=(1;-1)$